Mathematik-Problem

[Nerf]

Weil sich ja hier so viele Mathe-Spezis rumtreiben...

Ihr kennt ja bestimmt das berühmte Ziegentür-Paradoxon: Ein Kandidat in einer Spielshow darf sich aus 3 geschlossenen Türen eine aussuchen. 2 verbergen eine Ziege, eine ein Auto. Der Kandidat sucht sich eine Tür aus; daraufhin lässt der Showmaster eine öffnen, die eine Ziege enthält, und bietet dem Kandidaten an, seine Wahl nochmal zu ändern, wenn er will.

Jetzt kommt der Knackpunkt: Überall (im I-Net, in Büchern) steht jetzt zu lesen, dass es sich lohnt, die Türe zu wechseln, denn bei einem Wechsel hat man eine 66%-Chance auf das Auto; wenn man seine ursprüngliche Tür beibehält, nur eine 33%-Chance. Und das will mir ums Verrecken nicht ins Hirn, denn eigentlich ist es ja so....

...dass die geöffnete Tür mit der Ziege aus der Wertung rausfällt! Der Kandidat hat nur noch 2 Türen zur Auswahl, von denen eine eine Ziege, die andere das Auto beinhaltet. Also müsste die Chance doch 50% sein?!

Hoffe, mir kann das mal einer erklären, die ganzen Seiten im Netz liefern Erklärungen, mit denen ich absolut nix anfangen kann. Und fall nicht, scheut euch nicht, mir zu sagen, wenn ihr das auch nicht ganz begreift ;)

[Moscher]

Bei zwei Türen: 50:50.
Als noch alle drei Türen zur Auswahl standen, waren es 3:1 was einer Wahrscheinlichkeit von 33% entspricht.
Das würde ich mal mit meiner Logik mir erdenken. :)

[DarKson]

Kann mir das auch nicht wirklich erklären. Kann höchstens sein, das das bereits geöffnete Tor weiterhin in der Auswahl bleibt. Allerdings wären wir ja dann wieder bei einer 33%igen Chance.

[Nerf]

Ja, soweit war ich auch. :)

Aber wieso auch noch mit 2 Türen die Anfangswahrscheinlichkeiten gelten?

[Moscher]

Aber wieso auch noch mit 2 Türen die Anfangswahrscheinlichkeiten gelten?

Naja, vielleicht ist die Ziege generell als Gewinn zu werten. Du schreibst ja:

Überall (im I-Net, in Büchern) steht jetzt zu lesen, dass es sich lohnt, die Türe zu wechseln

Aber kein Mensch will eine Ziege !? Also warum sollte es sich dann lohnen die Tür zu wechseln ? Wer würde sie denn nicht wechseln ? Insofern denke ich, dass die 66% gelten, weil die Tür wirklich mit hineinzählt. Aber Sinn macht das natürlich nicht wirklich...

[Dr. STRG+C+V n0NAMe]

Hi !

Das ist doch gaaaanz logisch.

Du musst vom Anfang ausgehen. Dort ist hinter jeder Tür mit einer Wahrscheinlichkeit von 33% das Auto. Nun musst du die 3 Türen so unterteilen :

1. Tür, die Kandidat gewählt hat ... Wahrscheinlichkeit = 33%
2. Die zwei anderen Türen ... Wahrscheinlichkeit = 66%

Nachdem nun von 2. eine falsche Tür geöffnet wurde, gehen die 66% auf die zweite, vom Kandidaten nicht gewählte Tür über und die zuerst ausgewählte Tür bleibt weiterhin bei 33%.

Fazit: Wechsel bringt Wahrscheinlichkeit von 66%.

Gruß

n0NAMe

[Scarface (Fucksall)]

Aber die 33% von der offenen Tür müssten sich doch dann auf die beiden noch geschlossenen Türen aufteilen, oder?

[psYchO dAd]

Das ist Bullshit!
Du hast eine 33 %-Chance auf das Auto, und das wars.

Das gleiche ists beim Lotto spielen: Wenn ich jedesmal die gleichen Zahlen tippe hab ich die gleichen Chancen, wie wenn ich sie wechsle, das selbe ists beim Roulette usw...

Es heißt immer "günstig durch möglich": 1/3 und ob die Tür gewechselt wird ist total irrelevant!

[Dr. Phibes (Buurman)]

Eigentlich ist e sso, wie Noname es gesagt hat (ich hasse mich dafür, hätte es nicht jemand anderes sagen können). Wenn drei Türen zu Auswahl stehen, hat man eben, wie gesagt eine chance von 33 1/3 %.  Wird eine Tür geöffnet, so ist diese raus (0%) und wir sind immer noch bei 33 1/3%. Die restlichen 33 1/3% springen jetzt natürlich rüber und wir erhalten 66 2/3 %, was zusammen wieder 100% macht.

Im Klartext, eine mathematische Spielerei wie auch das Paradoxon mit Achilles und der Schildkröte.
Menschen kann man leicht verwirren, nsbesondere, wenn man von der mathematischen Theorie keine Ahnung hat. Einigen ist vielleicht die geometrische Reihe bekannt, namentlich für eine Zahl q ist

1+q+q^2+q^3+...+q^n =(1-q^(n+1)) / (1-q)

Für q<1 gilt sogar, wenn man n gegen undlich laufen lässt, dass

1+q+q^2+...+q^n+... = 1/ (1-q)

Setzt man jetzt q=2 ,so folgt plötzlich:

1+2+4+9+... = -1  

oder q=-1

1-1+1-1+1-1+1-... = 1/2

Der Durchschnittsmensch wird sich das nicht erklären können und selbst große Mathematiker wie Euler haben dies als wahr verifiziert, wie auch immer. Erst Gauß hat dann geklärt, warum es nicht sein kann.

Fazit: Mathematik kann verwirren, doch meistens stecken nur Logikfehler oder was ähnliches dahinter.

[DragonBay]

Du musst vom Anfang ausgehen. Dort ist hinter jeder Tür mit einer Wahrscheinlichkeit von 33% das Auto. Nun musst du die 3 Türen so unterteilen :

1. Tür, die Kandidat gewählt hat ... Wahrscheinlichkeit = 33%
2. Die zwei anderen Türen ... Wahrscheinlichkeit = 66%

Nachdem nun von 2. eine falsche Tür geöffnet wurde, gehen die 66% auf die zweite, vom Kandidaten nicht gewählte Tür über und die zuerst ausgewählte Tür bleibt weiterhin bei 33%.

Fazit: Wechsel bringt Wahrscheinlichkeit von 66%.

Bin auch schon mal auf dieses "Spiel" gestoßen und konnte die Lösung nicht nachvollziehen. Nonames Aussage ist korrekt und wird mithilfe folgender mathematischer Erklärung untermauert:
http://www.mister-mueller.de/mathe/beispiele/ziege/ziege5.html

Aber die mathematische Erklärung erscheint mir genauso unlogisch und unverständlich wie Nonames und Phibes' Erklärung  :?
Im Grunde genommen ist es doch nur eine Einbildung, dass sich bei einem Wechsel die Gewinnchancen erhöhen. IMO hat das nix mit (logischer) Mathematik zu tun, sondern ist eher auf mangelndes Selbstvertrauen des Spielers zurückzuführen.

[Kingpin]

Der Witz ergibt sich aus den urspünglichen Möglichkeiten:
Die Wahrscheinlichkeit, eine Tür mit einer Ziege zu wählen, ist 2/3:
Bsp: TürA=Ziege, TürB=Ziege, TürC=Auto
-> TürA gewählt, TürB gezeigt -> Wechsel gewinnt
-> TürB gewählt, TürA gezeigt -> Wechsel gewinnt
-> TürC gewählt, TürA oder TürB gezeigt (ist irrelevant) -> Wechsel verliert

[ChuckNorris]

Das ist aber nicht logisch. Wer kommt bitte auf die Idee, nach dem Aufmachen einer Tür diese noch in der Rechnung zu haben? Logisch wäre das, was jeder sagt: Man hat nem dem Öffnen einer Tür noch die Wahl zwischen 2 Türen, eine gewinnt, eine verliert -> 50% Gewinnchance. Was anderes ist für mich totaler Blödsinn.

[neo.fs]

Aber man fängt ja nicht mit zwei Türen an, sondern es geht ja um die Wahrscheinlichkeit auf das Auto nach einem Wechsel. Insgesamt muss man dann zwei Wege reinnehmen, daher ist die Chance höher als 50 %.
neo.fs

[Dr. Phibes (Buurman)]

Das ist aber nicht logisch. Wer kommt bitte auf die Idee, nach dem Aufmachen einer Tür diese noch in der Rechnung zu haben? Logisch wäre das, was jeder sagt: Man hat nem dem Öffnen einer Tür noch die Wahl zwischen 2 Türen, eine gewinnt, eine verliert -> 50% Gewinnchance. Was anderes ist für mich totaler Blödsinn.

Nein, es ist kein Blödsinn, es ist mathematische Logik und die unterscheidet sich nunmal von deiner weltlichen Logik. :wink:

[Kingpin]

Das ist aber nicht logisch. Wer kommt bitte auf die Idee, nach dem Aufmachen einer Tür diese noch in der Rechnung zu haben? Logisch wäre das, was jeder sagt: Man hat nem dem Öffnen einer Tür noch die Wahl zwischen 2 Türen, eine gewinnt, eine verliert -> 50% Gewinnchance. Was anderes ist für mich totaler Blödsinn.

Klar ist das logisch, denn es gibt von der Ausgangslage der 3 Türen 2 Möglichkeiten auf eine Tür mit einer Ziege getippt zu haben, aber nur 1 Möglichkeit, auf die Tür mit dem Auto getippt zu haben. Und in den zwei Möglichkeiten, wo man bereits auf eine Tür mit der Ziege getippt hat, bekommt man die zweite Tür mit der Ziege geöffnet und gewinnt somit durch Wechsel das Auto. Oben habe ich das doch anschaulich im Beispiel gezeigt.

[natas9]

Die Erklärungen von noname, Phibes und Kingpin entsprechen der Wahrheit. Nach der mathematischen Logik muss das so sein und es ist auch in Wirklichkeit so, wie sich durch Statistiken oder simple Computersimulationen nachweisen lässt.

[DragonBay]

Die 66 2/3% Gewinnwahrscheinlichkeit entspricht ja der Gewinnwahrscheinlichkeit, die man bei der Wahl von 2(!) von 3 Türen am Anfang gehabt hätte.  :schwul:  
Als weltlich-denkender Nichtmathematiker muss man das wohl 100x durchspielen, um sich von der Korrektheit der Lösung zu überzeugen.

[Dr. STRG+C+V n0NAMe]

Hi !

Hat ja keiner behauptet, dass es für normaldenkende Menschen logisch ist ... ist eben Mathematik. Da geht es nicht drum, Sachen möglichst einfach zu lösen, sondern möglichst kranke Wege zu finden. ;)

@ChuckNorris: Mach dir nichts daraus, habe auch etwas gebraucht, bis ich das damals verstanden habe und akzeptieren konnte. :)

Gruß

n0NAMe

[ChuckNorris]

Ich hab das verstanden und weiß auch, dass es stimmt (wir haben das selbst mal in der Schule durchgenommen  :D ), aber logisch ist es deshalb immer noch nicht. Ein anderes Beispiel für "logische" Unlogik wäre das folgende....

2 Läufer, einer startet 2 Meter vor dem anderen. Derjenige, der hinten startet, läuft doppelt so schnell wie der andere. Ums einfacher zu machen, nach einer Zeiteinheit (egal ob Minute/Stunde/usw) ist der Vorsprung nur noch 1 Meter. Nach einer weiteren Zeiteinheit ist der Vorsprung 50 cm. Nach einer weiteren Zeiteinheit 25 cm, usw....

Der 1. Läufer wird quasi nie eingeholt. Hört sich wie Schwachsinn an, lässt sich aber mit Formeln belegen. Logisch (nach normalen Vorstellungen) ist aber auch das nicht.

[Dr. Phibes (Buurman)]

Das ist wie oben erwähnt, das Paradoxon von Zenon. Da ist eigentlich nix unlogisches dran, weil man immer nur Zeitintervalle betrachtet, die stetig kleiner werden.

[Dr. STRG+C+V n0NAMe]

Das ist wie oben erwähnt, das Paradoxon von Zenon. Da ist eigentlich nix unlogisches dran, weil man immer nur Zeitintervalle betrachtet, die stetig kleiner werden.

Genau das meinte ich mit "kranken" Lösungen. Das hat nichts mit der Realität zu tun. Wenn jemand beim 100m Lauf 2 Meter vor mir startet, aber ich doppelt so schnell bin, dann komme ich garantiert als erster ins Ziel.

Gruß

n0NAMe

[Kingpin]

Das Paradoxon von Zenon ist aber nun wirklich "falsch", weil die zugrunde liegende Annahme (der Grenzwert sei unendlich) falsch ist (Grenzwert ist endlich, nämlich der Punkt, wo der schnellere Läufer den langsameren einholt). Daher taugt es nun nicht als Beispiel in dieser Frage zur Wahrscheinlichkeitsrechnung. ;)

[dekay]

Interessant, dass ich im Oktober 2004 nochmal von der Ziegen-Spielshow lese... Davon war nämlich schon vor Jahren (ich schätze mal so ca. 8/) mal ein Artikel im SPIEGEL. Die Show gab's wirklich, und irgendwann ist eben Zuschauern aufgefallen, dass ein Wechsel eben lohnt. Die Erklärung dafür haben hier Kingpin, Phibes und Noname exakt dargelegt. Ich brauchte auch 10 min, um das zu kapieren, aber es ist einfach 100%ig ogisch. Man muss die beiden Schritte eben "zusammendenken".
Auf irgend 'ner Party hab' ich dann davon erzählt, keiner wollt's glauben. Da haben wir das quasi nachgespielt (allerdings ohne Ziege und Auto ;) ), und tatsächlich - die Zwei-Drittel-Wahrscheinlichkeit gab's auch in der Realität. Und trotzdem wollte mir keiner glauben...
Ach übrigens - die Spielshow gibt's natürlich nicht mehr :mrgreen: .

dekay

[DragonBay]

Die Spielshow hieß übrigens "Geh aufs Ganze", moderiert von Jörg Dräger. War ganz lustig die Show. Der Moderator hat einem immer 'ne Stange Geld angeboten, damit man seine Entscheidung ändert. Ich wette dass kein einziger Kandidat, der je in der Sendung im Finale stand, von der 2/3-Wahrscheinlichkeit bei einem Wechsel wusste!

[Nerf]

Also danke für die vielen Antworten der militanten Mathematikfront ;)

So ganz kapiere ich es immer noch nicht, aber ich gebe mich hiermit geschlagen und akzeptiere die überwältigende Kraft logischer Wahrheit. :)