!Wichtige Mathefrage!

[Zeromancer]

Abend,

hab morgen nen 20-minütigen Vortrag zum Thema Archimedes-Methode zur Bestimmung von Pi.

Jetzt fällt mir dummerweise nicht mehr ein,wie man im Kreis ein gleichseitiges Dreieck konstruieren kann.(Das Dreieck muss den Kreis mit jeder Ecke berühren)

Eine Antwort wäre echt sehr gut ;)

Z3ro

[andreas82]

Wenn du den Kreis hast, mess einfach den Radius und stell den Zirkel auf das Maß ein. Danach setzt du den Zirkel außen an und machst rechts und links einen Schnittpunkt. Das machst du ringsum weiter, dann hast du sechs Punkte und brauchst nur noch jeden zweiten zu verbinden. Voilà! :wink:

[Zeromancer]

Vielen Dank,du hast meine Note sicher gerettet  :D

[Zeromancer]

Mist,ich wurde heute nicht fertig mit dem Referat,welches als schriftliche NOte zählt(wie eine Klassenarbeit!),am Mittwoch soll ich dann eine Rechnung vorführen,anders wie ich es geplant hatte.

Kennt sich hier einer ein wenig mit der Archimedes-Methode zur Bestimmung von Pi aus?Jetzt bräuchte ich echt eure Hilfe ;)

[Dr. Phibes (Buurman)]

Wenn ich mich nicht irre, beschreibt man einem Kreis (natürlich dem Einheitskreis) Viel-Ecke ein, sprich erst ein Dreieck, dann ein Viereck, dann ein Fünfeck und bestimmt von diesen die Fläche. Ich meine, Euler hat das mal nur mit dem Zirkel gemacht. Vielleicht finde ich was dazu.

EDIT: Hätte dazu eine Rechnung, die ist aber recht aufwendig, aber so macht man es halt.

[Zeromancer]

Die Grundidee weiss ich,du hast fast recht,angefangen hat er mit einem Dreieck,durch Eckenverdoppelung ging er so zum Sechseck,Zwölfeck,24-Eck,48-Eck und schließlich zum 96-Eck über.

Bei mir geht es eben gerade um die Rechnung.....ich habe die Standartrechnung wie er vom n-Eck auf das 2n-Eck kam(die erste Verdoppelung),nun soll ich aber eben am Mittwoch morgen die Rechnung vom 6-Eck zum 12-Eck vorführen und ich bin sehr schlecht im einsetzen,wenn du die Rechnung hast,könntest du dich vielleicht mal dran versuchen?

Die Note ist sehr wichtig für mich,weil ich in Mathe schlecht bin,das wäre jetzt eine große Chance.

[Dr. Phibes (Buurman)]

Obwohl es hier immer schlecht zu schreiben ist, versuche ich es mal. Am besten machst du dir groß einen Einheitskreis und beschreibst dort das 6-Eck ein,. bekommt man noch hin.
 
Gehen wir also von einem 6-Eck aus, dessen Seiten natürlich alle gleich sind und vom Einheitskreis, also Radius 1. Ich nenne E den Mittelpunkt des Kreises und nehme an, ein 6-Eck befinde sich im Kreis. Die Innenwinkel haben dann die Größe e = 60°, klar wegen 360/6, die Mittelpunkswinkel m = 180 - 360/60 = 120 (weil die Winkelsumme im Dreieck immer 180° ist). Wenn ich die Ecken mit dem Mittelpunk E verbinde, erhalte ich sechs gleich große Dreiecke, deren Inhalt ich berechnen kann. Da ich auch die Winkel kenne (sie sind gerade e=60° und m/2= 60°, da die Winkelsumme immer 180° ist im Dreieck), kann ich rechnen.
Ich brauche nur ein Dreieck D zu berechnen, also bekomme ich die ganze Fläche durch 6* Dreieck D. Die Fläche eines Dreieckes ist gegeben durch 1/2*Grundseite*Höhe. Wir nennen a_6 die Grundseite und h_6 die Höhe des Dreiecks D. Dann gilt offensichtlich:

F_6=6*F(Dreieck D)= (6*a_6*h_6) / 2

Um nun ein 12-Eck zu erhalten, verbinde ich einfach den Mittelpunkt der Seite a_6 mit dem Mittelpunkt E, dann mache ich aus jedem Dreieck zwei neue, erhalte also insgesamt 12 Dreiecke.

Um jetzt wirklich sie Seitenlängen a_n und h_n herauszubekommen, muss man einiges am Dreick wissen, sowas wie

sin(alpha) = Gegenkathete / Hypotenuse und cos(alpha)=Ankathete/Hypotenuse

für einen rechten Winkel.  Dann erhält man:

sin(e/2)= (a_n/2)/r_n ---> a_n = 2 * r_n * sin(e/2) bzw.

cos(e/2)= h_n / r_n   ---> h_n = t_n * cos(e/2)

Daher beträgt die Fläche des n-ten n-Ecks, wenn man es einsetzt:

F_n = n * r^2_n*sin(180°/n)*cos(180°/n), wobei r^2_n = 1 ist wegen dem Einheitskreis.

Für das 6-Eck gilt dann also (n=6 oben einsetzen)

F_6 = 6 * sin(180/6)*cos(180/6)= 2,59....

Für das 12-Eck kann man jetzt einfach die Winkel halbieren , also 180/12 und muss die Anzhal nur auf 12 erhöhen:

F_12 = 12*sin(180/12)*cos(180/12)= 3

Knackpunkt ist wirklich nur, wie man an die Seitenlänge a_n und die Höhe h_n kommt, die muss man wirklich nachrechnen, wie ich es oben beschrieben habe und klar machen. Dann kann man einfach argumentieren, wie man vom 6-Eck auf das 12-Eck kommt (eben durch halbieren eines Dreiecks) und die Fläche kann man dann wieder mit der Formel oben ausrechnen. Aber wie gesagt, mal dir einben großen Kreis, baue das 6-Eck da ein und versuche alles nachzuvollziehen, was ich oben geschrieben habe.

[Zeromancer]

Vielen Dank ,du hast dir ja sehr viel Mühe gemacht,ich frage mich noch was das _ zwischen F und zahl sein soll.....oder ist das einfach ein zwischenstrich?Heute habe ich für das ganze leider keine Zeit mehr,da ich auf die CHemiearbeit morgen noch lernen muss und noch an die 40 Seiten in einer Lektüre für Deutsch lesen muss,aber das,was du da ausgerechnet hast,sieht ja hochkompliziert aus ;)

die ausgangsrechnungen vom n-eck zum 2n-eck gehen vom satz des pythagoras aus,nehmen wir M für den Kreismittelpunkt,ist ohne Zeichung schwer zu beschreiben,dann noch die Punkte A,B und F,gesucht ist die seite S2n(die regelmäßige seite des 12-ecks),gegeben ist u.a. die regelmäßige 6-eck-seite:sn:2.Dann ging das irgendwie so:

s2n²=sn:2²+MF.......und dann geht es endlos lange weiter .....naja ich kümmere mich morgen ausgiebig darum.

[Dr. Phibes (Buurman)]

Dieses _ soll nur ein Index sein, es sol eigentlich F6 sein, aber das geht ja hier nicht. Mit Potenzen geht das noch für 2 und 3, also z.B. a² b³ usw. nur unten bekomme ich halt keine kleine sechs hin, deswegen schreibt man F_6.
Ist das selbe wie a^2 für a² usw.

[Zeromancer]

Okay,wenn hiermit keiner klar kommt,muss ich es wohl mit Dr.Phibes' rechnung versuchen,aber ich soll das eben auf dem folgenden wege ausrechnen,ich hoffe dass meine Rechnung überhaupt einigermaßen stimmt....


Also die Berechnung wie Archimedes vom n-Eck auf das 2n-Eck kam(durch Eckenverdoppelung....3,6,12,24,48,96):

sn=regelmäßige Seite des n-Ecks          Radius=1:2

(s2n)²=(sn:2)²+FB²;FB=1:2-MF
                                   =1:2-(ab hier wurzel!)(1:2)²-(sn:2)²(wurzel ende)
(s2n)²=(sn:2)²+(1:2-(ab hier wurzel!)(1:2)²-(sn:2)²(wurzel ende) )²

s2n=(wurzelanfang)1:2-1:2(erneute wurzel)1-(sn)²(von beiden wurzeln das ende)

Dann geht es weiter mit un=n*sn bzw. sn=un:2 :


u2n=2n*s2n=2n(wurzelanfang)1:2-1:2(neue wurzel)1-(un:n)²(beide wurzeln zu ende)

= n*(wurzel)2-2(neue wurzel)1-(un:n)²(beide wurzeln zu ende)

Ich empfehle euch die Formeln irgendwie auf nen Blatt zu schreiben....denn hier ist es ein wenig verwirrend,weil ich kein wurzelzeichen machen kann und sowas.....


Okay,das war von n auf 2n....ich muss jetzt von 6n auf 12n,das bräuchte ich von euch.

Ich hab jetzt einfach mal dort 6n und 12n eingesetzt,wo ich es für richtig hielt,tipp ich jetzt mal hier ab:


(s12n)²=(s6n:2)²+FB²;FB=1:2-MF
                                       =1:2-(wurzelanfang)(1:2)²-(s6n:2)²(wurzelende)
(s12n)²=(s6n:2)²+(1:2-(wurzelanfang)(1:2)²-(s6n:2)²(wurzelende)

s12n=(wurzelanfang)1:2-1:2(neue wurzel)1-(s6n)²(beide wurzelenden)

6n=u12n:6n

u12n=12n*s12n=12n(wurzelanfang)1:2-1:2(neue wurzel)1-(u6n:6n)2(wurzelnende)

=6n*(wurzelanfang)2-2(neue wurzel)1-(u6n:6n)²(wurzelnende)


Ich bin total verwirrt........muss man überhaupt u12n schreiben? ich pack das einfach nicht >_> Ich hoffe auf schnelle Antworten...