Der (inoffizielle) Mathematik Thread

[psYchO dAd]

1. Frage:

Wie komme ich bei Einer Reihenentwicklung auf das Lagrang'sche Restglied (in Mathcad)

Und die 2. Frage:

[psYchO dAd]

Ok, hab die Lösung, für alle dies interessiert:

Der aperiodische Grenzfall hat genau eine NEGATIVE Lösung für Lambda, das ist alles....

Nur was das Lagrang'sche Restglied in der Entwicklung von Potenzreihen ist weiß ich immer noch nicht.

[Fuct]

Es lag mir auf der Zunge....

MfG ;)

[psYchO dAd]

Wo ist Phibes, wenn man ihn braucht?  :?

[Blade Runner]

Wo ist Phibes, wenn man ihn braucht?  :?

Such ihn "Auf Schalke"  :twisted:

[Dr. Phibes (Buurman)]

Also wie man das Lagrangsche Restglied in Mathcad kommt, keine Ahnung. Nutze das Prog zwar selber aber nicht für sowas.
Das Lagrangsche Restglied, sagt ja schon der name, ist der letzte Term einer endlichen Reihe. Ich weiß jetzt nicht, ob Dir das hilft, aber wenn Du das Taylorpolynom der n-ten Ordnung hast, so ist das Restglied definiert als der (n+1)-te Term, also

R_n(x):=(f^(n+1)(µ))/((n+1)!) *(x-x_0)^(n+1)

Bei f ist es natürlich die n+1-te Ableitung. Dieses µ ist im allg. eine unbekannte Zahl, welches im offenen Intervall liegt, was Du betrachtest. Da man dieses µ so gut wie nie findet, versucht man das Restglied nach oben abzuschätzen durch |f^(n+1)(x)| <=M. Dieses M setzt man dann in das Restglied ein und hat dadurch eine Abschätzung, wie gut man interpoliert.

[Dr. Phibes (Buurman)]

Zur Not kann ich ein simples Bsp. geben.  8)

[psYchO dAd]

Ja, gib mal bitte ein Beispiel...
ist folgendes richtig?



soll "Abbruch" heißen *g*

[Dr. Phibes (Buurman)]

Ja genau. Und für 3/8*x² gibt es jetzt mindestens ein µ, so dass die Reihe den genauen Wert an einem Punkt angibt. Dieses µ findet man aber so gut wie nie, also schätzt man ab. In diesem Fall Nenne ich die Wurfelfunktion f(x) und die Reihe bis zum 1-ten Glied T1(x). Dann ex. ein M mit

|f(x)-T1(x)| <= 3/8*M².

Befindet man sich z.B. auf dem Intervall [0,1], so ist wegen der wachsenden Monotonie von x² eine Abschätzung gegeben durch M=1, also 3/8*1²=3/8. D.h., der Fehler den man durch die T1-Reihe macht, ist maximal 3/8 oder kleiner. Bei größeren Intervallen wird das M natürlich größer und auch der Fehler, den man macht, wächst. Daher müsste man mehr Reihenglieder bestimmen, um einen kleineren Fehler zu erhalten.

[psYchO dAd]

Check ich nicht ;-)

Wenn der nette Professor morgen also eine Aufgabe zur Reihenentwicklung stellt, und als Zusatz nach dem Restglied fragt, dann ist R einfach das nächste Glied nach dem Abbruch?

Und dieses kann ich wie in meinem obigen Beispiel einfach ablesen.

Und wozu brauche ich dein Restliches Blabla (welches ich nicht durchschaue) ?

[Dr. Phibes (Buurman)]

OK, noch mal:  8)
Wie Du schon gesagt hast, ist das nächste Reihenglied immer das Restglied. Oben halt ist ist die Taylorreihe T1(x)=1-(1/2)x, also eine Reihe bis zum 1-ten Glied. Das Restglied ist dann das 2te-Glied, also 3/8*x². Dieses Restglied benutzt man nur, um den Fehler zu bestimmen, den man mit der Reihe T1(x) macht. Jetzt sagt der Satz von Lagrange, dass es mindestens ein µ in dem offenen Intervall gibt, so dass der Reihenwert genau mit dem ursprünglichen Funktionswert übereinstimmt. Dieses µ findet man aber fast nie. also kann man nur eine große Abschätzung geben. Machen wir ein Beispiel mit den obigen Reihen.

Wir werten f(x) an der Stelle 0.5 aus. Der exakte Wert ist laut TR
f(0.5)=0.861...
Nun berechnen wir
T1(0.5)=0.75 (schon gar nicht schlecht)

Jetzt fragen wir uns nach dem Fehler den wir mit der Reihe machen. Also nehmen wir das Restglied. Sind wir jetzt auf dem Intervall [0,1], so ist das Maximum der Funktion x² auf [0,1] natürlich 1 wegen 1²=1. Also M=1.
Dadurch erhält man den Fehler:

|f(0.5)-T1(0.5)| <= 3/8

3/8 ist also der maximale Fehler, den wir machen. Größer wird der Fehler auf keinen Fall. Unser Fehler ist sogar viel kleiner, nämlich
|0.861-0.75|=0.111< 3/8=0.375

Würden wir jetzt dieses µ finden, so wäre wirklich
T1(0.5)=1-0.25+3/8*µ²=0.861... (0.5 setzt man nicht in das Restglied ein, sondern eben dieses µ). Dieses µ findet man aber nicht, also geben wir uns mit der Abschätzung oben zufrieden.

[psYchO dAd]

Ehm... stimmt folgendes auf die Fragestellung:

Entwickle die Taylor-Reihe für die gegebene Funktion f(x) , Abcruch nach dem 2. Glied.
Bestimme den maximalen Fehler mithilfe des Lagrang'schen Restgliedes und den absoulten Fehler bei x=0.8.

Was andres kann ja eigentlich nicht kommen, oder kann man mit dem Lagrange noch was machen?

[Dr. Phibes (Buurman)]

Müsste eigentlich richtig sein. Ferner ist in der Aufgabenstellung kein Intervall angegeben, so dass man mit dem Restglied nicht abschätzen kann, weil man ja Grenzen braucht. Die Rechnung ist aber richtig meines Erachtens.

[psYchO dAd]

Ok, ich hatte grad Schularbeit, es kam tatsächlich so ein Beispiel, ich sag dir dann was falsch war *gg*

Folgende Aufgabenstellung: (was ich noch weiß)

In einem RL-Glied wird zur Zeit t=0 s der Schalter geschlossen, wodurch eine lineare Spannung u=k*t anliegt.
Für die Stromstärke im Kreis gilt (siehe Screenshot).

a.)
Zeige durch Abbruch der Taylorreihe für i, dass i anfänglich fast quadratisch mit der Zeit ansteigt. Rühre die Rechnung aus, wenn (siehe Screenshot)
b.)
Ermittle das Lagrang'sche Restglied für t=0.75
c.)
Ermittle den absoluten und relativen Fehler für t=0.75.

(ich weiß R ist nicht der maximale Fehler, der Kommentar ist falsch!)

[Dr. Phibes (Buurman)]

äh... :D  was ist das denn?? Physik? Elektrotechnik?? Daher blicke ich bei den ganzen Bezeichnungen nicht durch.  8) Sieht aber OK aus und wenn es trotzdem falsch ist, war ich nie hier :mrgreen:

[psYchO dAd]

Elektronik ;-)
Die ersten Zeilen sind eigentlich wurscht, es geht um die Formel und die Reihenentwicklung (also erst die Punkte a, b, c sind interessant)

Reihenentwicklung und Beweis, dass i prop. t²
Einsetzen der Werte und Ergebnis.
Lagrang*sches Restglied für t=0.75
Fehler (absolut und relativ)

"In einem RL-Glied wird zur Zeit t=0 s der Schalter geschlossen, wodurch eine lineare Spannung u=k*t anliegt." ist uninteressant und nur zur Verwirrung da *g*

und mit siehe Screenshot meine ich einmal die Formel ganz am Anfang und die Werte die einzusetzen sind.


Wenns falsch ist bekommst du die Schuld!  :twisted:
Und auch dafür, dass ich das dritte Beispiel mit der DG 1. Ordnung nicht konnte *g*

Halte dich am Laufenden... wo wohnst du nochmal?  :wink:

[Dr. Phibes (Buurman)]

Die Rechnung müsste eigentlich dann richtig sein. die Reihe läuft bis zum 2ten Glied, die dritte ist das Restglied, womit man den max. Fehler errechnen kann.

Ach ja, DGL 1. Ordnung sind voll easy. :mrgreen:

P.S. Ich wohne in...habs vergessen.

[psYchO dAd]

Da stand nix von max. Fehler, nur Fehler bei t=0.75... deswegen hoff ich,dass es stimmt, weil ich den Lagrange für den Fehler gar nicht brauchte.

Ja, sind eh easy, aber der Depp hat ein Störglied gegeben, was wir noch nie hatten: 4*x
Wenn ich gewusst hatte, dass man die Form A*x+B nimmt und für yp = a*x+b über den Exponentenvergleich eine Lösung bekommt, ok, aber bisher hatten wir nur folgende Formen für s(x): A*sin(w*x)  -- auch Exponentialvergleich oder einfach x(x)=A (--> yp=A)

Son Arsch!

PS: Deutschland reicht schon, ich werde schon suchen

PPS: In genau 3 Wochen hab ich Matura (= Abi) in Mathe, bist du da online? *gg*

[Dr. Phibes (Buurman)]

Ich bin immer online! :mrgreen:

[psYchO dAd]

Ok, aber ich denke die Prüfer werden uns das Netz abdrehn ;-)
Mal sehn...

Erst schaun ma mal, wie die Schularbeit ausgegangen ist...

[psYchO dAd]

Ok, der relative Fehler war falsch *g* (Z und N verdreht)
Ich häng jetz die Verbesserung an...
sonst hatte ich noch Punkteabzug, weil ich die Reihenentwicklung nicht genau ausgeführt hatte... UND weil ich den Vorgang für das Restglied nicht besser beschrieben hatte...
und das ist eben das Problem... wenn du schaust kommt bei mir wenn ich mit dem Lagrange rechne eine ganz andrer Wert raus, als wenn ich einfach das näxte Glied nehm...
Was ist da denn falsch?

[Dr. Phibes (Buurman)]

Hmm, ganz genau blicke ich nicht, was Du da machst zum Schluss. :-)
Ich erkenne nur, dass erst das Lagrangsche Restglied richtig ausgerechnet wurde, danach verstehe ich aber absolut nicht, warum Du einfach t in das vierte Summenglied reinsetzt?

[psYchO dAd]

ich verstehe es auch nicht ;-)

hast du nicht gesagt, dass das Restglied dem n+1ten glied entspricht?
deshalb habe ich hier einen Vergleich angestellt!
Und R ist keineswegs gleich dem n+1ten Glied!
Bei Thetha=1 soll das Restglied doch dem näxten Glied entsprechen, oder?

(Bei der Schularbeit hatte ich einfach das 4te Glied als Restglied angegeben, und es wurde als richtig gewertet... nur der genaue Rechengang hat ihm gefehlt)

[Dr. Phibes (Buurman)]

Natürlich entspricht das Restglied dem n+1-ten Glied, wenn man ein Taylorpolynom der n-ten Ordung hat. Aber dazu muss man natürlich auch diesen ganzen Fakultätsspaß + Theta mitnehmen. Wie du vorher das Restglied bestimmt hast, ist genau richtig und es ist ja so gesehen das letzte Glied.

[psYchO dAd]

Das ist dann aber komisch...
Bei der SA hatte ich wie gesagt einfach das 4te Glied genommen, das Restglied genannt... und der Professor hat es gelten lassen...
Wahrscheinlich weil die beiden Werte ähnlich aussehen...
keine Ahnung...

also 6,3*10^-2 stimmt ?

Noch 2 Fragen:

"Kommentiere den flüchtigen Teil und den stationären Teil der Lösung" (von DGs)
Was isn das?
Wie ist das definiert?

UND: kennst du dich ach bei Statistik aus (z.B. Normalverteilung?)

[Dr. Phibes (Buurman)]

Yo, die 6...x10^-2 müssten richtig sein.

Frage 1: keinen Plan, Begriffe sagen mir gar nix
Frage 2: Recht wenig, habe nie Stochastik-Vorlesungen gehört, nur mal
            so nebenbei

[psYchO dAd]

gut...

hm, die Lösung der DG war:

u=2*e^(-2*t)+4*t-2

Ich habe geschrieben, dass der flüchtige Teil bei t gegen unendlich verschwindet, hat gestimmt... (es war auch gefragt. was ,mit dem flüchtigen Teil für hinreichend großes t gilt)

also würde ich sagen, dass der flüchtige Teil der Teil mit der e-potenz ist und der rest bei t gegen unendlich auch gegen unendlich geht...
Dieser Rest wird dann mal der stationäre Teil sein...
oder ist nur der term -2 stationär? also wo keine Variable vorkommt?

Keine Ahnung...

[Dr. Phibes (Buurman)]

Öhm, ja.  8)
Ich mache zwar zur Zeit etwas Stabilitätstheorie für Gewöhnliche Dgl., aber die Begriffe kommen da auch nicht vor.   :wink:

[psYchO dAd]

Ok, danke trotzdem (erstmal)

Am DI hab ich Mathe-Matura (MO: Englich) und es könnte leicht sein, dass ich dahin noch ein paar Fragen habe ;-)

Apropos: kennst du dich bei Fourier-Reihen aus
(v.A. bei der Entwicklung in Mathcad)

[Dr. Phibes (Buurman)]

Kenne etwas (aber nur ganz wenig) die Theorie der Fourierreihen, habe mich aber nie damit beschäftigt.